模型、晶格与物理约定

BAFQMC 在有限温度虚时路径积分中对连续 Hubbard–Stratonovich（HS）场进行采样。对于每个场构型，通过二次单粒子传播对玻色子求迹。HS 解耦后的二次型问题的时间反演对称性（TRS）或反射正性（RP）确保权重非负，包括在阻挫跃迁情形下。所提供的实现处理粒子数守恒玻色子和格点配对两种情况。

求解器实现的哈密顿量

我们采用论文的算符与符号约定：两个玻色子组分 \(\hat b_i\) 和 \(\hat c_i\)，其中 \(\hat n_{b,i}=\hat b_i^+\hat b_i\) 和 \(\hat n_{c,i}=\hat c_i^+\hat c_i\)。主要基准哈密顿量为

\[ \begin{aligned} \hat H={}&\hat H_t+\hat H_U+\hat H_\Delta,\\ \hat H_t={}&t\sum_{\langle ij\rangle} \left(\hat b_i^+\hat b_j+\hat b_j^+\hat b_i +\hat c_i^+\hat c_j+\hat c_j^+\hat c_i\right),\\ \hat H_U={}&U\sum_i(\hat n_{b,i}-\hat n_{c,i})^2,\\ \hat H_\Delta={}&-\sum_i\left(\Delta\,\hat b_i^+\hat c_i^+ +\Delta^*\,\hat b_i\hat c_i\right). \end{aligned} \]

系综为巨正则系综，逆温度为 \(\beta\)：

\[ \hat N=\sum_i(\hat n_{b,i}+\hat n_{c,i}),\qquad \hat H_\mu=\hat H-\mu\hat N,\qquad Z=\mathrm{Tr}e^{-\beta\hat H_\mu}. \]

粒子数守恒求解器取 \(\Delta=0\)。配对求解器接受实数 \(\Delta\)，并保留正常和反常 Green 函数。其内部算符相位为 \(\hat b_{\mathrm{code}}=\hat b_{\mathrm{paper}}\)， \(\hat c_{\mathrm{code}}=-\hat c_{\mathrm{paper}}\)，因此在相同输入 \(\Delta\) 下，代码中的配对项带正号。这是相同的物理模型。实现中的 Nambu 顺序为 \((b,c,b^+,c^+)\)（在该代码基底下）。

两个求解器还实现了补充材料中使用的两个密度通道，将 \(\hat H_U\) 替换为

\[ \begin{aligned} \hat H_U={}&\sum_i\left[ U_1(\hat n_{b,i}+\hat n_{c,i})^2 +U_2(\hat n_{b,i}-\hat n_{c,i})^2\right]\\ ={}&\sum_i\left[(U_1+U_2)(\hat n_{b,i}^2+\hat n_{c,i}^2) +2(U_1-U_2)\hat n_{b,i}\hat n_{c,i}\right]. \end{aligned} \]

主模型设 \(U_1=0\)，\(U_2=U\)。连续 HS 实现使用 \(U_1\leq0\) 和 \(U_2\geq0\)。

平方密度包含其线性粒子数项。若从以 \(n(n-1)\) 形式写出的模型转换，需将由此产生的化学势偏移同时代入 BAFQMC 和 ED。

三角晶格

当前几何结构为每个元胞一个格点，带有周期边界条件：

\[ \begin{gathered} \mathbf a_1=(1,0),\qquad \mathbf a_2=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\\ \mathbf r_{x,y}=x\mathbf a_1+y\mathbf a_2,\qquad N_s=L_xL_y,\\ (x,y)\equiv(x+L_x,y)\equiv(x,y+L_y). \end{gathered} \]

每个元胞提供三条正向键

\[ (x,y)\longrightarrow(x+1,y),\quad (x,y)\longrightarrow(x,y+1),\quad (x,y)\longrightarrow(x-1,y+1). \]

其厄米共轭提供反向。在非常小的周期元胞上，不同键可能连接同一对格点或回到原格点；它们的贡献被叠加。独立的 ED 和固定场测试明确使用了这种键的多重性。

在已实现的正跃迁 \(t=1\) 下，三角环是阻挫的。色散关系为

\[ \varepsilon(\mathbf k)=2t\left[ \cos(\mathbf k\cdot\mathbf a_1) +\cos(\mathbf k\cdot\mathbf a_2) +\cos\bigl(\mathbf k\cdot(\mathbf a_2-\mathbf a_1)\bigr)\right]. \]

倒格矢基矢和一个能带极小值为

\[ \begin{gathered} \mathbf b_1=2\pi\left(1,-\frac1{\sqrt3}\right),\qquad \mathbf b_2=2\pi\left(0,\frac2{\sqrt3}\right),\\ \mathbf b_i\cdot\mathbf a_j=2\pi\delta_{ij},\qquad \mathbf K=\frac23\mathbf b_1+\frac13\mathbf b_2 =\left(\frac{4\pi}{3},0\right). \end{gathered} \]

允许的动量为 \(\mathbf k=(m/L_x)\mathbf b_1+(n/L_y)\mathbf b_2\)。现有的 \(K\) 点估计量要求两个长度均为 3 的倍数。在其他尺寸下，这些通道的 Fortran 输出为零；若进行新的研究，请选择相容的动量并实现其估计量。密度和能量测量在其他晶格尺寸上仍然可用。

参数与当前接口

物理量	现有控制方式
晶格尺寸 \(L_x,L_y\)	运行时输入 `Nlx,Nly`；BAFQMC 接受不同的正整数晶格长度
温度 \(\beta\) 和时间步长 \(\Delta\tau=\beta/L_\tau\)	运行时输入 `Beta,Ltrot`
密度相互作用 \(U_1,U_2\) 和化学势 \(\mu\)	运行时输入 `RU1,RU2,mu`
实数格点配对 \(\Delta\)	配对求解器中的运行时输入 `RDelta`
跃迁强度 \(t\)	在每个求解器的 `src/calc_basic.f90` 中由 `Params_set` 设为 `RT=1.d0`；若需改变，请修改实现并重新编译
晶体几何、键振幅、额外相互作用或配对模式	模型开发；使用扩展指南

仅有 JSON 的 t 字段无法改变当前 Fortran 的跃迁强度。所提供的粒子数守恒相互作用 ED 工作流针对 \(3\times3\) 基准晶格；配对 ED 实现在其基底截断范围内接受小的 \(L_x\times L_y\) 元胞。将 BAFQMC 计算扩展到新几何结构时，需选择并实现相应的参考计算。

从相互作用到辅助场

令 \(n_+=n_b+n_c\)，\(n_-=n_b-n_c\)。局域 HS 恒等式为

\[ \begin{aligned} e^{-\Delta\tau U_1 n_+^2} &=\int\frac{d\phi_1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\phi_1^2/2} e^{\sqrt{-2U_1\Delta\tau}\,\phi_1n_+},\\ e^{-\Delta\tau U_2 n_-^2} &=\int\frac{d\phi_2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\phi_2^2/2} e^{\mathrm i\sqrt{2U_2\Delta\tau}\,\phi_2n_-}. \end{aligned} \]

对于粒子数守恒传播，两个组分对应共轭的在位势。因此 \(B_{c,\ell}=\overline{B_{b,\ell}}\)，代码可通过对 \(b\) 扇区取共轭得到 \(c\) 扇区的 Green 函数。配对实现对完整的 Nambu 高斯迹求值，包括正规序标量因子和行列式平方根权重。局域场更新、稳定化传播和 Wick 估计量在 Fortran 中实现；Python 负责 ED、计算方案和分析。

对于主模型 \(U_1=0\)，充分条件 \(\mu<-3t-|\Delta|\) 在整个辅助场域内确保迹有限；所有主要基准点均满足该条件。补充材料中具有吸引相互作用 \(U_1<0\) 的 benchmark使用其单独指定的有限占据比较参考。对于新的哈密顿量，请按模型开发指南中的说明，建立迹域及相应的 HS 对称性与实现。

基准模型与可观测量

扫描	哈密顿量参数	几何结构与系综
主相互作用扫描	\(U_1=0\)，\(U_2=U\)，\(\Delta=0\)	\(3\times3\)，\(t=1\)，\(\beta=4\)，\(\mu=-3.5\)
主配对扫描	\(U_1=0\)，\(U_2=U=1\)，变化 \(\Delta\)	\(3\times3\)，\(t=1\)，\(\beta=4\)，\(\mu=-5\)
补充密度通道扫描	变化 \(U_1\leq0\)，\(U_2=1\)，\(\Delta=0\)	\(3\times3\)，\(t=1\)，\(\beta=1\)，\(\mu=-7\)

论文中配对项带负号。论文算符与实现算符的关系为 \(b_{\mathrm{code}}=b_{\mathrm{paper}}\) 和 \(c_{\mathrm{code}}=-c_{\mathrm{paper}}\)。密度、能量以及两个基准结构因子在此相位变换下不变；反常配对振幅的符号改变。

对于 \(\hat n_i=\hat n_{b,i}+\hat n_{c,i}\)，主要基准可观测量为

\[ \begin{aligned} \rho&=\frac{\langle\hat N\rangle}{N_s},\qquad E=\langle\hat H\rangle,\\ S_{\mathrm{SF}}(\mathbf k)&=\frac1{N_s^2}\sum_{ij} e^{\mathrm i\mathbf k\cdot(\mathbf r_i-\mathbf r_j)} \left\langle\hat b_i^+\hat b_j+\hat c_i^+\hat c_j\right\rangle,\\ S_{\mathrm{DW}}(\mathbf k)&=\frac1{N_s^2}\sum_{ij} e^{\mathrm i\mathbf k\cdot(\mathbf r_i-\mathbf r_j)} \left\langle\hat n_i\hat n_j\right\rangle. \end{aligned} \]

输出可观测量指南定义了每个当前物理输出量及其归一化方式。energy_density 为 \(E/N_s\)，不含化学势项；论文绘制的是 \(-E=-N_s\,\texttt{energy\_density}\)。代码的反常振幅为 \(\texttt{pair\_equal}=N_s^{-1}\sum_i\langle b_i^+c_i^++b_ic_i\rangle_{\mathrm{code}}\)，因此每格点配对能为 \(\Delta\,\texttt{pair\_equal}\)。论文的反常振幅为该值的相反数。

工作流报告均值、基于分块的均值标准误（SEM）、参考值及差值。主配对 ED 设置 nmax=3,ncut=4 包含 7297 个基底态；粒子数守恒 ED 累积粒子数和平移扇区。非相互作用参考值也直接从自由玻色色散计算得到。每次比较均记录其采样参数和 ED 截断值。

参见基准输入与设置、科学测试，以及详细的粒子数守恒和配对实现指南。