物理观测量与输出文件
两个求解器都在周期边界单轨道三角晶格上测量以下物理量。
定义采用论文的算符约定，\(N_s=L_xL_y\)（代码中为 Lq）：
期望值均为巨正则热平均。文件名中的 up 和 do 分别对应 \(b\) 和 \(c\)。
除特别标注 仅配对求解器 外，以下所有文件均由两个求解器写出。
配对求解器的反常振幅有特殊的相位约定，详见下文；密度、跃迁和三个结构因子
与论文的约定直接一致。
密度与粒子数矩
定义平均密度和格点二阶矩求和为
| 输出文件 | 定义 |
|---|---|
density_up, density_do |
\(\langle\hat N_b\rangle/N_s\)，\(\langle\hat N_c\rangle/N_s\) |
density_total |
\(\rho\) |
density（仅配对求解器） |
\(\rho\) 的别名 |
density_site_total |
\(N_s\) 个格点密度 \(\rho_i\) |
num_up, num_do |
\(\langle\hat N_b\rangle\)，\(\langle\hat N_c\rangle\) |
numsquare_up, numsquare_do |
\(\langle\hat N_b^2\rangle\)，\(\langle\hat N_c^2\rangle\) |
onsite_n2_up, onsite_n2_do |
\(M_b\)，\(M_c\) |
local_numsquare（仅配对求解器） |
\((M_b+M_c)/N_s\) |
doubleOcc |
\(D=N_s^{-1}\sum_i\langle\hat n_{b,i}\hat n_{c,i}\rangle\) |
squareOcc |
\(Q=(2N_s)^{-1}\sum_i\langle\hat n_{b,i}(\hat n_{b,i}-1)+\hat n_{c,i}(\hat n_{c,i}-1)\rangle\)（当前模型） |
numsquare_* 包含不同格点间的关联；onsite_n2_* 只含格点自身项。
这些文件存储总量，而 doubleOcc、squareOcc 和 local_numsquare 为每格点值。
辅助场估计量 squareOcc 的精确表达式为
对于当前的哈密顿量，\(\hat N_b-\hat N_c\) 的守恒使同组分反常缩并为零，
因此 Wick 定理给出表中的正规序定义。含同组分配对的模型需要额外的反常缩并。
配对求解器的 local_numsquare 和 onsite_n2_* 估计量已显式包含这些缩并项。
密度分布的逆参与比（IPR）是后处理量，求解器无单独输出文件：
它使用平均后的密度分布，对于均匀非零分布等于 \(1/N_s\)， 与粒子数二阶矩不同。
能量与反常配对振幅
物理哈密顿量 \(\hat H=\hat H_t+\hat H_U+\hat H_\Delta\)，其中
配对求解器接受实数 \(\Delta\)；粒子数守恒求解器取 \(\Delta=0\)。 论文主模型取 \(U_1=0\)，\(U_2=U\)。 \(\hat H_t\) 中每条最近邻键只计一次，显式写出两个跃迁方向。 定义 \(e_t=\langle\hat H_t\rangle/N_s\)， \(e_U=\langle\hat H_U\rangle/N_s\)， \(e_\Delta=\langle\hat H_\Delta\rangle/N_s\)。
配对求解器使用
因此其二次型矩阵中配对项符号为正。由此
| 输出文件 | 定义 |
|---|---|
kinetic |
\(e_t\)，含 \(t\) 和两种组分 |
interaction_energy_density |
\(e_U=(U_1+U_2)(M_b+M_c)/N_s+2(U_1-U_2)D\) |
pair_equal（仅配对求解器） |
\(P_{\mathrm{code}}\)；取负号得论文的配对振幅 |
pairing_energy_density（仅配对求解器） |
\(e_\Delta=\Delta P_{\mathrm{code}}\) |
energy_density |
\(e=\langle\hat H\rangle/N_s=e_t+e_U+e_\Delta\) |
chemical_energy_density（仅配对求解器） |
\(e_\mu=-\mu\rho\) |
grand_energy_density（仅配对求解器） |
\(\langle\hat H-\mu(\hat N_b+\hat N_c)\rangle/N_s=e-\mu\rho\) |
energy_density 不含化学势项。总物理能量 \(E=N_s e\)；论文绘制 \(-E\)。
乘以 \(N_s\) 同时也将标准误差乘以 \(N_s\)。
粒子数守恒求解器不单独写出化学势贡献或巨正则能量文件；它们由相同的恒等式推导得到。
K 点和 Γ 点结构因子
三角晶格原胞基矢和测量动量为
三个结构因子均采用 \(N_s^{-2}\) 归一化：
| 输出文件 | 可观测量 | 可用条件 |
|---|---|---|
sf_K |
\(S_{\mathrm{SF}}(\mathbf K)\) | \(L_x\) 和 \(L_y\) 均为 3 的倍数 |
dw_K |
\(S_{\mathrm{DW}}(\mathbf K)\) | \(L_x\) 和 \(L_y\) 均为 3 的倍数 |
psf_Gamma |
\(S_{\mathrm{PSF}}(\boldsymbol\Gamma)\) | 所有支持的晶格尺寸 |
dw_K 测量总密度。这些是完整的关联函数，包含非连通贡献，
不减去平均值的乘积。配对结构因子在代码到论文的相位旋转下不变。
当晶格无法表示 K 点时，可执行程序仍会写出 sf_K 和 dw_K，
但填充零占位符。对该晶格应将这些通道视为不可用，不影响 psf_Gamma。
密度关联文件族
写入程序对平移平均的密度关联做正号傅里叶变换
类似地定义 \(C_{cc}\) 和 \(C_{bc}\)（替换相应的密度算符）。 平移平均贡献 \(1/N_s\)，傅里叶变换再贡献 \(1/N_s\)。 当前写入程序只选取 \(\mathbf q=\boldsymbol\Gamma\)：
| 输出文件 | 写入量 |
|---|---|
den_upup_sub11 |
\(C_{bb}(\boldsymbol\Gamma)=\langle\hat N_b^2\rangle/N_s^2\) |
den_dodo_sub11 |
\(C_{cc}(\boldsymbol\Gamma)=\langle\hat N_c^2\rangle/N_s^2\) |
den_updo |
\(C_{bc}(\boldsymbol\Gamma)=\langle\hat N_b\hat N_c\rangle/N_s^2\) |
sub11 后缀表示单轨道的两个关联指标。这些文件每个 bin 包含一个复数值，
不含动量坐标或完整动量网格，也不减去非连通贡献。
特别地，den_updo 包含不同格点间的关联，而 doubleOcc 只含格点自身关联。
行、列与不确定度
文件在运行的工作目录中追加写入。每次独立运行请使用新目录。
每个等时行是一个 bin 均值：局域扫描对虚时片和蒙特卡洛扫描的测量取平均，
然后由 0 号进程写出 MPI 进程的平均值。
对于 Nsweep 次双向扫描，每个进程每个 bin 贡献 2 * Nsweep * Ltrot 个等时测量。
| 文件类型 | 每行的列 |
|---|---|
标量密度、矩、能量和 pair_equal |
一个实数值 |
density_site_total |
\(N_s\) 个实数值，每格点一个 |
sf_K、dw_K、psf_Gamma 和 den_* |
两个值：实部、虚部 |
对于 density_site_total，零基格点指标 \(i=x+L_x y\) 对格点排序，
\(x=0,\ldots,L_x-1\) 变化最快。原始文件不存储列标签。
上述精确结构因子和密度关联在理论上为实数；虚部列保留有限样本估计量，
作为一致性诊断使用。
后处理对保留的 bin 序列进行分块以估计均值的不确定度。 对于 \(B\) 个分块均值 \(\bar x_j\)：
报告的 stderr 是该标准误差，而非原始 bin 的标准差。复数列分别分析。
原始样本在本地生成；小型处理后的表格保留均值、均值标准误及用于重建统计量的分块均值。
论文工作流详见复现指南。
已启用测量与诊断
等时测量从第一个输出 bin 开始。Nthermal 控制非等时路径的进入时机；
它不丢弃等时行。辅助场预热和任何分析时的 bin 丢弃是独立步骤。
两个求解器当前的 obser_tau.f90 估计量和 m_write_obs_tau 写入程序均为空。
因此开启 is_tau 不产生任何非等时的物理可观测量、磁化率或松原频率数据。
配对求解器会累积内部的单粒子关联，但其 green 写入调用已被注释掉。
通用傅里叶输出辅助方法本身并不开启额外的输出文件。
粒子数守恒求解器的文件 pole_z、pole_distance、pole_x、
green_spectral_radius、green_smax 和 log_weight 描述构型权重和数值条件数。
与等时可观测量行不同，这些文件每个 bin 每个 MPI 进程包含一个构型样本，
按进程顺序排列。其定义参见粒子数守恒物理指南。
info.txt 中的接受率、相位和矩阵稳定性统计量也是诊断量。
日志、种子和场构型记录运行时状态。
实现地图
| 职责 | 粒子数守恒求解器 | 配对求解器 |
|---|---|---|
| Wick 估计量和归一化 | obser_equal.f90 | obser_equal.f90 |
| 已启用文件、列布局、MPI 平均 | fourier_trans.f90 | fourier_trans.f90 |
| 晶格排序和傅里叶归一化 | lattice.f90 | lattice.f90 |
| Bin 循环和测量标志 | main.f90 | main.f90 |
| 非等时估计量状态 | obser_tau.f90 | obser_tau.f90 |
扩展时，请同步更新每个估计量、其归一化以及已启用的写入程序。 模型扩展指南提供了对应哈密顿量、基组和更新的修改地图。